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Pt En In this twitter proof we will have a look at a rather curious, yet simple, property of real polynomials. Claim: if $p(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i $ is a polynomial with real coefficients, then for all complex numbers $z $, $$p(z) = 0 \iff p(\bar{z}) = 0$$ which means that the complex roots of $p(x) $ come in conjugate pairs. Twitter proof: it suffices to show that $p(z) = 0 \implies p(\bar{z}) = 0$. Assume that $p(z) = 0$ and recall that $a_i = \bar{a_i} $: $$\begin{align} p(\bar{z}) &= \sum_{i=0}^n a_i\bar{z}^i \\ &= \sum_{i=0}^n \overline{a_iz^i} \\ &= \overline{\sum_{i=0}^n a_iz^i} = \overline{p(z)} = 0 \end {align} $$ Neste post vamos dar uma olhadela a uma propriedade curiosa, mas simples, dos polinómios com coeficientes reais. Proposição: se $p(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i $ é um polinómio com coeficientes reais, então para qualquer número complexo $z $ vem $$p(z) = 0 \iff p(\bar{z}) = 0$$ o que significa que as raízes complexas de $p(x) $ vêm...

Pt En In this post I will show the existence of a family of polynomials that are very useful for interpolation. For that I will use what are known as Lagrange polynomials. Claim: given $n+1$ pairs $(x_i, y_i) $ with $0\leq i \leq n $ and with $x_i \neq x_j $ whenever $i\neq j $, there exists a polynomial $p(x) $ of degree at most $n $ such that $$p(x_i) = y_i,\ i = 0, \cdots, n $$ Twitter proof: consider the polynomial $$l_i(x) = \prod_{j\neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} $$ with $l_i(x_i) = 1$ and $l_i(x_j) = 0$ whenever $j \neq i$. Define $p(x) $ to be $$p(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i l_i(x) $$ $p(x) $ has degree at most $n $ because so do the $l_i(x) $ and $p(x_k) = \sum_i y_i l_i(x_k) = y_k $. In a future post I will show the uniqueness of the polynomial satisfying the constraints in the claim. Neste post vou mostrar a existência de uma família interessante de polinómios, muito útil em interpolação. Para isso vou usar uns polinómios chamados polinómios de Lagrange...

Pt En For this twitter proof we will be using a piece of mathematics straight from the 17th century. Claim: the number $\sqrt[n]{2} $ is irrational for $n \geq 3$. Twitter proof: suppose that $n \geq 3$ and $\sqrt[n]{2}$ is rational, i.e. $\sqrt[n]{2} = \frac{a}{b}$ for some integers $a, b $. Then taking the $n $-th power of both sides we get $2 = \frac{a^n}{b^n} \iff b^n + b^n = a^n $, contradicting the well-known Fermat's Last Theorem . Para esta prova num tweet vamos usar um pedaço de matemática do século 17. Proposição: o número $\sqrt[n]{2} $ é irracional para $n \geq 3$. Prova num tweet: suponhamos que $n\geq 3$ e que $\sqrt[n]{2} $ é racional, i.e. $\sqrt[n]{2} = \frac{a}{b} $ para alguns inteiros $a, b $. Se for esse o caso, elevando os dois lados da igualdade a $n $, obtemos $2 = \frac{a^n}{b^n} \iff b^n + b^n = a^n $, contrariando o famoso Último Teorema de Fermat . &nbsp&nbsp- RGS join the mathspp mailing list

Pt En In this post I will share with you my favourite proof that the series of the inverses diverges: $\sum_{i=1}^\infty \frac1i = \infty $. Claim : the series $\sum_i \frac1i$ diverges. Twitter proof : consider the series $$ \begin{align} &\frac12 + \frac12 + \frac12 + \cdots = \\ &\frac12 + 2 \times\frac14 + 4\times \frac18 + \cdots = \\ &\frac12 + \frac14 + \frac14 + \frac18 + \cdots \leq \\ &\frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \cdots \end{align}$$ that clearly diverges because it is a series of a constant nonzero term. By the comparison test, the series of the inverses also diverges. Comment with your favourite way to prove this fact!! Neste post quero partilhar com todos a minha prova preferida de que a série dos inversos dos naturais diverge: $\sum_{i=1}^\infty \frac1i = \infty $. Proposição : a série $\sum_i \frac1i$ diverge. Prova num tweet : considere-se a série$$ \begin{align} &\frac12 + \frac12 + \frac12 + \cdots = \\ &...

Pt En In this post we prove what the minimum number of moves to solve the problem of the Tower of Hanoi is! Claim: let $T(n)$ denote the number of moves it takes to solve the Tower of Hanoi with $n$ disks; then $T(n) = 2^{n}-1$. Twitter proof: note that to solve the problem with $n$ disks, we first have to move the top $n-1$ disks to one of the two poles, move the bottom disk (the bigger one) to the remaining pole, and then move the top $n-1$ disks to the top of the bigger disk. Each time we move the top $n-1$ disks to another pole we must take, at least, $T(n-1)$ moves (by definition of $T$) hence we clearly have $T(n) = 2T(n-1) + 1$. Just notice that $B(n) = 2^n - 1$ satisfies the recurrence relation and that $T(0) = B(0) = 0$. If you are having trouble understanding what I mean by to solve the problem with $n$ disks, we first have to move the top $n-1$ disks to one of the two poles, move the bottom disk (the bigger one) to the remaining pole, and then move t...

Pt En In this post I will show that some londoners share more than their native language and their propension to get sunburnt. For that we need to notice that there are more than $8.5$ million londoners and that the average human has $100,000$ hairs in the head. Assertion : there are, at least, $9$ londoners with the exact same number of hairs in their head. Twitter proof : given the facts above, there are more than $8$ million londoners with less than $1$ million hairs in their head. By the pigeonhole principle this means at least $9$ londoners have the exact same number of hairs. Neste post vamos mostrar que alguns londrinos partilham mais do que o inglês como língua materna e a propensão para apanhar escaldões. Para isso é preciso notar que há mais de $8.5$ milhões de londrinos e que o ser humano médio tem $100,000$ cabelos na sua cabeça. Asserção : há pelo menos $9$ londrinos com exatamente o mesmo número de cabelos na cabeça. Prova num tweet : pelos fac...

Pt En The proof of this post is a very well known proof on the infinitude of primes. For the proof I am going to rephrase an argument used by Euclid more than $2000$ years ago. Theorem : there are infinitely many primes. Twitter proof : if $\mathcal{P} = \{p_1, \cdots, p_n\}$ is a finite set of primes, then the number $q = p_1\times\cdots\times p_n + 1$ is such that $q \not\in \mathcal{P}$. Either $q$ is prime or $q$ has a prime factor $q'$ that cannot be in $\mathcal{P}$, otherwise $q'$ would have to divide $1$. Hence, no finite set $\mathcal{P}$ can contain all primes. A prova deste post é uma prova conhecida da infinitude dos números primos. Para esta prova vou adaptar ligeiramente o argumento usado por Euclides há mais de $2000$ anos. Teorema : há infinitos números primos. Prova num tweet : se $\mathcal{P} = \{p_1,\cdots,p_n\}$ é um conjunto finito de primos, então o número $q = p_1\times\cdots\times p_n + 1$ é tal que $q \not \in \mathcal{P}$. Ou $q$...

Pt En Neste post vou mostrar como a nossa intuição às vezes deixa escapar até as evidências geométricas mais simples... A prova prende-se com um problema real, ainda que pouco comum. Se formos a uma sapataria e experimentarmos uns sapatos novos, a maior parte das vezes vamos querer ver os nossos sapatos novos num espelho. Suponhamos então que, quando olhamos para o espelho na parede, o espelho está demasiado alto e não conseguimos ver abaixo dos nossos joelhos... O que é que devemos fazer a seguir? Damos um passo para a frente ou damos um passo para trás? Asserção : andar para a frente e andar para trás não faz diferença, se nos mantivermos com boa postura. Prova num tweet : para esta prova, uma imagem basta. Entendeste? Se sim, quero saber! Se não, eu explico! Basta deixar um comentário em baixo. In this post I will show how our intuition can be fooled, even by the simplest geometrical problems... The proof is related to a real-world problem, even though an unco...

Pt En Há uns tempos ouvi dizer "não dá para ter um modelo do sistema solar à escala" . Achei piada ao que tinha ouvido e acreditei, mas não entendi bem a dimensão dessa afirmação. Vou usar um tweet para ajudar a dimensionar isto: Asserção: não se consegue levar um modelo do Sistema Solar, à escala, para uma feira de ciência da escola. Prova num tweet: o diâmetro de Mercúrio é menor que $5\times10^3km$ e a distância do Sol a Neptuno maior que $4.4\times10^9km$. Assim, se o Mercúrio do modelo tivesse $1mm$, a distância do Sol a Neptuno teria de ser maior que $8.8\times10^5mm = 0.88km$, quase um quilómetro. Some time ago I heard someone say "you can't have a miniature Solar System to scale" . I found it funny and I believed it, but I did not grasp the full meaning of that sentence. I will make use of a tweet to take care of that: Assertion: your science fair project cannot be a proportional model of the Solar System. Proof in a tweet: the ...