Mathspp: mathematics and programming

Pt En I have folded a piece of paper in half hundreds of times in my life. And probably so did you. Folding a piece of paper in half is fairly easy: just bend the piece of paper until the corners meet, and then crease. That is it. And with this method one can also fold a piece of paper in $4$, in $8$, etc. We just have to successively divide the sections of the paper in half. But what if we wanted to fold a piece of paper into thirds, as in the picture above? Some people are good at doing that, but they don't really measure anything: they just do it approximately by looking at the paper and folding where it seems about right. I guess it goes without saying, but mathematicians don't like things to be "about right", they want them right... and even though I wasn't a mathematician, when I was a child I thought that maybe there was a way for me to successively fold different parts of the paper in half, until one of the creases would be the crease at...

Pt En The proof of this post is a very well known proof on the infinitude of primes. For the proof I am going to rephrase an argument used by Euclid more than $2000$ years ago. Theorem : there are infinitely many primes. Twitter proof : if $\mathcal{P} = \{p_1, \cdots, p_n\}$ is a finite set of primes, then the number $q = p_1\times\cdots\times p_n + 1$ is such that $q \not\in \mathcal{P}$. Either $q$ is prime or $q$ has a prime factor $q'$ that cannot be in $\mathcal{P}$, otherwise $q'$ would have to divide $1$. Hence, no finite set $\mathcal{P}$ can contain all primes. A prova deste post é uma prova conhecida da infinitude dos números primos. Para esta prova vou adaptar ligeiramente o argumento usado por Euclides há mais de $2000$ anos. Teorema : há infinitos números primos. Prova num tweet : se $\mathcal{P} = \{p_1,\cdots,p_n\}$ é um conjunto finito de primos, então o número $q = p_1\times\cdots\times p_n + 1$ é tal que $q \not \in \mathcal{P}$. Ou $q$...

Pt En Num post anterior mostrei como podemos aproximar a raíz quadrada de um número através de um processo iterativo que começa com um palpite, seguido de vários ajustes. Neste post vou mostrar qual é o algoritmo mencionado pela Mathgurl no vídeo que ela fez em "parceria" comigo. O método que vou descrever pode ser usado com qualquer número real, seja quadrado perfeito ou não, seja inteiro ou não, racional ou não. Vou começar por apresentar um raciocínio que mostra como o algoritmo surge. Para quem não estiver interessado, pode saltar diretamente para a explicação final de como funciona . Para a exposição que se segue, se $a,b$ forem dígitos, então a notação $ab$ representa o número $10a + b$ em vez do número $a\times b$. Começamos por notar que, se quisermos descobrir $\sqrt{N}$ à mão e $\sqrt{N}$ for irracional, então vamos ter de nos contentar com uma aproximação com um número finito de casas decimais. Por outro lado, se $\sqrt{N} = a_0a_1\cdots a_n.b_0\c...