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Showing posts from May, 2018

Twitter proof: infinite primes

PtEn The proof of this post is a very well known proof on the infinitude of primes. For the proof I am going to rephrase an argument used by Euclid more than $2000$ years ago.

Theorem: there are infinitely many primes.

Twitter proof: if $\mathcal{P} = \{p_1, \cdots, p_n\}$ is a finite set of primes, then the number $q = p_1\times\cdots\times p_n + 1$ is such that $q \not\in \mathcal{P}$. Either $q$ is prime or $q$ has a prime factor $q'$ that cannot be in $\mathcal{P}$, otherwise $q'$ would have to divide $1$. Hence, no finite set $\mathcal{P}$ can contain all primes.
A prova deste post é uma prova conhecida da infinitude dos números primos. Para esta prova vou adaptar ligeiramente o argumento usado por Euclides há mais de $2000$ anos.

Teorema: há infinitos números primos.

Prova num tweet: se $\mathcal{P} = \{p_1,\cdots,p_n\}$ é um conjunto finito de primos, então o número $q = p_1\times\cdots\times p_n + 1$ é tal que $q \not \in \mathcal{P}$. Ou $q$ é primo ou $q$ tem um fator …

How to compute any square root by hand

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PtEn Num post anterior mostrei como podemos aproximar a raíz quadrada de um número através de um processo iterativo que começa com um palpite, seguido de vários ajustes. Neste post vou mostrar qual é o algoritmo mencionado pela Mathgurl no vídeo que ela fez em "parceria" comigo.

O método que vou descrever pode ser usado com qualquer número real, seja quadrado perfeito ou não, seja inteiro ou não, racional ou não. Vou começar por apresentar um raciocínio que mostra como o algoritmo surge. Para quem não estiver interessado, pode saltar diretamente para a explicação final de como funciona.

Para a exposição que se segue, se $a,b$ forem dígitos, então a notação $ab$ representa o número $10a + b$ em vez do número $a\times b$. Começamos por notar que, se quisermos descobrir $\sqrt{N}$ à mão e $\sqrt{N}$ for irracional, então vamos ter de nos contentar com uma aproximação com um número finito de casas decimais. Por outro lado, se $\sqrt{N} = a_0a_1\cdots a_n.b_0\cdots b_m$, então $\…

The naturals, the rationals and sets that fit inside themselves

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PtEn If I have two groups of kids in front of me, for example two different classes, how can I decide if the two groups have the same size? Of course I can count both groups, but I can also ask every kid from group $A$ to give his hand to a kid from group $B$, so they pair up. If, in the end, everyone is paired up, both groups have the same size. If some kid from group $A$ doesn't manage to give his hand to anybody, because every kid from group $B$ is taken, then the group $A$ had more kids... and if some kid from group $B$ doesn't get the hand from any kid from group $A$, then group $B$ had more kids! When we want to compare the sizes of two sets this is one of the things we can do! Instead of counting the two sets, we can try to pair them up. If we manage to do that, the sets have the same size! Sometimes pairing two sets is a hard task and instead we opt for a different thing: remember that if $a \leq b$ and $b \leq a$ then $a=b$; hence, if a set $A$ is not smaller than…