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Showing posts from March, 2018

Introduction to generating functions through the Binomial Theorem

PtEn Qual é o coeficiente de $x^5$ na expansão de $(x+1)^{13}$? Ou qual será o coeficiente de $x^i$ na expansão de $(x+1)^{13}$? E de $(x+1)^n$? Então e de $(x+c)^n$?
Pelo binómio de Newton temos que $$(x+c)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}c^{n-i}x^i$$ mas como é que podemos chegar a essa fórmula? Vamos começar por escrever os fatores de $(x+c)^n$ todos lado a lado: $$(x+c)\times(x+c)\times\cdots\times(x+c)$$ e agora pensamos no resultado de aplicar a propriedade distributiva neste polinómio todo sem fazer simplificações. A título de exemplo, tomemos $n = 2,3$: $$\begin{align} (x+c)^2 &= (x+c)(x+c) \\ &= xx + xc + cx + cc\\ (x+c)^3 &= (x+c)(x+c)(x+c) \\ &= (xx + xc + cx + cc)(x + c) \\ &= xxx + xxc + xcx + xcc + cxx + cxc + ccx + ccc\end{align}$$ O que podemos ver é que cada parcela final veio de escolher, dentro de cada factor $(x+c)$, ou o $x$ ou o $c$. A parcela $xcx$ vem da escolha $(\underline{x}+c)(x + \underline{c})(\underline{x}+c)$ e a parcela $xxc$ vem da e…

Twitter proof: a solar system out of scale

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PtEn Há uns tempos ouvi dizer "não dá para ter um modelo do sistema solar à escala". Achei piada ao que tinha ouvido e acreditei, mas não entendi bem a dimensão dessa afirmação. Vou usar um tweet para ajudar a dimensionar isto:

Asserção: não se consegue levar um modelo do Sistema Solar, à escala, para uma feira de ciência da escola.

Prova num tweet: o diâmetro de Mercúrio é menor que $5\times10^3km$ e a distância do Sol a Neptuno maior que $4.4\times10^9km$. Assim, se o Mercúrio do modelo tivesse $1mm$, a distância do Sol a Neptuno teria de ser maior que $8.8\times10^5mm = 0.88km$, quase um quilómetro. Some time ago I heard someone say "you can't have a miniature Solar System to scale". I found it funny and I believed it, but I did not grasp the full meaning of that sentence. I will make use of a tweet to take care of that:

Assertion: your science fair project cannot be a proportional model of the Solar System.

Proof in a tweet: the diameter of Mercury is less than…

Generalized Sudoku (jigsaw sudoku)

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PtEn Muita gente sabe o que é um sudoku: um puzzle com números que se joga numa tabela com $9$ linhas e $9$ colunas. O objetivo é simples: preencher a tabela com os números entre $1$ e $9$, seguindo umas quantas regras. As regras que devem ser seguidas não são complicadas, mas quem já experimentou resolver sudokus sabe que às vezes pode ser bastante difícil completar o puzzle!

Para além de resolver problemas, os matemáticos também gostam muito de generalizar. Suponhamos que temos uma série de características e que olhamos para todos os objetos que satisfazem essas restrições; uma generalização desses objetos pode ser dada ao ignorarmos uma das características consideradas.

A título de exemplo, suponha-se que estamos à procura de todos os polígonos que satisfazem as seguintes restrições: Tem quatro lados; Todos os lados são iguais; Todos os lados fazem ângulos de $90^\circ$ entre si. É fácil de ver que o quadrado é o único polígono que satisfaz estas duas retrições. Podemos agora p…

Problem #08 - cutting squares

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PtEn O problema de hoje é um problema sobre geometria!... ou será que é?

Problema: dados $n$ quadrados de lados $a_1, a_2, \cdots, a_n$, será que é possível cortá-los de maneira a que possamos voltar a colar os bocados para formar um único quadrado?

Nota: para aqueles que gostam de ter tudo bem definido, cortar um quadrado consiste em escolher dois pontos em dois lados diferentes do quadrado e ficar com as duas figuras geométricas que surgem ao traçarmos o segmento de reta que une os dois pontos escolhidos.

Solução: o primeiro passo, e talvez o mais importante, é notar que basta provar que isto é verdade para dois quadrados. Isto é, dados dois quadrados de lados $a_1$ e $a_2$ é sempre possível cortá-los de maneira a que os pedaços possam ser reunidos para construir um só quadrado. Comecemos então por essa parte da prova. Sejam $a$ e $b$ os lados dos dois quadrados, com $a > b$.


Do quadrado de lado $a$ fazemos um corte paralelo a um dos lados por forma a ficarmos com dois pedaços: um d…