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Pt En Qual é o coeficiente de $x^5$ na expansão de $(x+1)^{13}$? Ou qual será o coeficiente de $x^i$ na expansão de $(x+1)^{13}$? E de $(x+1)^n$? Então e de $(x+c)^n$? Pelo binómio de Newton temos que $$(x+c)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}c^{n-i}x^i$$ mas como é que podemos chegar a essa fórmula? Vamos começar por escrever os fatores de $(x+c)^n$ todos lado a lado: $$(x+c)\times(x+c)\times\cdots\times(x+c)$$ e agora pensamos no resultado de aplicar a propriedade distributiva neste polinómio todo sem fazer simplificações. A título de exemplo, tomemos $n = 2,3$: $$\begin{align} (x+c)^2 &= (x+c)(x+c) \\ &= xx + xc + cx + cc\\ (x+c)^3 &= (x+c)(x+c)(x+c) \\ &= (xx + xc + cx + cc)(x + c) \\ &= xxx + xxc + xcx + xcc + cxx + cxc + ccx + ccc\end{align}$$ O que podemos ver é que cada parcela final veio de escolher, dentro de cada factor $(x+c)$, ou o $x$ ou o $c$. A parcela $xcx$ vem da escolha $(\underline{x}+c)(x + \underline{c})(\underline{x}+c)$ e a parcela

Pt En Há uns tempos ouvi dizer "não dá para ter um modelo do sistema solar à escala" . Achei piada ao que tinha ouvido e acreditei, mas não entendi bem a dimensão dessa afirmação. Vou usar um tweet para ajudar a dimensionar isto: Asserção: não se consegue levar um modelo do Sistema Solar, à escala, para uma feira de ciência da escola. Prova num tweet: o diâmetro de Mercúrio é menor que $5\times10^3km$ e a distância do Sol a Neptuno maior que $4.4\times10^9km$. Assim, se o Mercúrio do modelo tivesse $1mm$, a distância do Sol a Neptuno teria de ser maior que $8.8\times10^5mm = 0.88km$, quase um quilómetro. Some time ago I heard someone say "you can't have a miniature Solar System to scale" . I found it funny and I believed it, but I did not grasp the full meaning of that sentence. I will make use of a tweet to take care of that: Assertion: your science fair project cannot be a proportional model of the Solar System. Proof in a tweet: the

Pt En Muita gente sabe o que é um sudoku: um puzzle com números que se joga numa tabela com $9$ linhas e $9$ colunas. O objetivo é simples: preencher a tabela com os números entre $1$ e $9$, seguindo umas quantas regras. As regras que devem ser seguidas não são complicadas, mas quem já experimentou resolver sudokus sabe que às vezes pode ser bastante difícil completar o puzzle! Para além de resolver problemas, os matemáticos também gostam muito de generalizar . Suponhamos que temos uma série de características e que olhamos para todos os objetos que satisfazem essas restrições; uma generalização desses objetos pode ser dada ao ignorarmos uma das características consideradas. A título de exemplo, suponha-se que estamos à procura de todos os polígonos que satisfazem as seguintes restrições: Tem quatro lados; Todos os lados são iguais; Todos os lados fazem ângulos de $90^\circ$ entre si. É fácil de ver que o quadrado é o único polígono que satisfaz estas duas retr