Mathspp: mathematics and programming

Pt En An obvious way of creating rational approximations for irrational numbers is by truncating its decimal expansion. For example, $3$, $3.1$ and $3.14$ are all rational approximations of $\pi $; as fractions, those approximations would be written $3$, $\frac{31}{10}$ and $\frac{314}{100} $. Notice how $\frac{314}{100}$ has $100$ as the denominator and yet only produces an approximation correct up to two decimal places. Claim: by using continued fractions one can obtain better rational approximations for irrational numbers. Method: if $x $ is an irrational number, instead of truncating its decimal expansion, we can truncate its continued fraction. Taking $\pi $ as an example, we have $$\pi = 3 + \frac1{7 + \frac1{15 + \cdots}} $$ and by taking $$\pi \approx 3 + \frac17 = \frac{22}{7} $$ we get the approximation $\pi \approx 3.14285\cdots$: it is correct up to two decimal places just as $\frac{314}{100} $, but $7$ is a much smaller denominator than $100$. (And al...

Pt En In this post I will show the existence of a family of polynomials that are very useful for interpolation. For that I will use what are known as Lagrange polynomials. Claim: given $n+1$ pairs $(x_i, y_i) $ with $0\leq i \leq n $ and with $x_i \neq x_j $ whenever $i\neq j $, there exists a polynomial $p(x) $ of degree at most $n $ such that $$p(x_i) = y_i,\ i = 0, \cdots, n $$ Twitter proof: consider the polynomial $$l_i(x) = \prod_{j\neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} $$ with $l_i(x_i) = 1$ and $l_i(x_j) = 0$ whenever $j \neq i$. Define $p(x) $ to be $$p(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i l_i(x) $$ $p(x) $ has degree at most $n $ because so do the $l_i(x) $ and $p(x_k) = \sum_i y_i l_i(x_k) = y_k $. In a future post I will show the uniqueness of the polynomial satisfying the constraints in the claim. Neste post vou mostrar a existência de uma família interessante de polinómios, muito útil em interpolação. Para isso vou usar uns polinómios chamados polinómios de Lagrange...

Pt En Num post anterior mostrei como podemos aproximar a raíz quadrada de um número através de um processo iterativo que começa com um palpite, seguido de vários ajustes. Neste post vou mostrar qual é o algoritmo mencionado pela Mathgurl no vídeo que ela fez em "parceria" comigo. O método que vou descrever pode ser usado com qualquer número real, seja quadrado perfeito ou não, seja inteiro ou não, racional ou não. Vou começar por apresentar um raciocínio que mostra como o algoritmo surge. Para quem não estiver interessado, pode saltar diretamente para a explicação final de como funciona . Para a exposição que se segue, se $a,b$ forem dígitos, então a notação $ab$ representa o número $10a + b$ em vez do número $a\times b$. Começamos por notar que, se quisermos descobrir $\sqrt{N}$ à mão e $\sqrt{N}$ for irracional, então vamos ter de nos contentar com uma aproximação com um número finito de casas decimais. Por outro lado, se $\sqrt{N} = a_0a_1\cdots a_n.b_0\c...

Pt En Na primária aprendemos a fazer somas, subtrações, multiplicações e divisões; o que nunca nos ensinam é a calcular raízes quadradas. Existe um algoritmo (não muito simples) para calcularmos raízes quadradas à mão, mas muitas vezes uma boa aproximação chega-nos. Acontece também que para o caso das raízes quadradas existe um truque muito simples que pode ser explicado com geometria, e esse truque produz aproximações muito boas! O que veremos mais adiante é que esse truque está relacionado com um método mais geral para resolver equações. Para explicar o truque vamos aplicá-lo diretamente. Vamos tentar encontrar a raíz quadrada de $7373$. A primeira coisa a fazer é arranjar um palpite. Quanto melhor for o palpite inicial, melhores vão ser as aproximações, mas não é preciso um palpite muito bom para que as aproximações sejam satisfatórias! Sei que $80^2 = 6400$ e $90^2 = 8100$ e $7373$ está mais ou menos no meio, portanto posso tomar $85$ como palpite inicial. Se quiserm...