Pocket maths: good rational approximations
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An obvious way of creating rational approximations for irrational numbers is by truncating its decimal expansion. For example, $3$, $3.1$ and $3.14$ are all rational approximations of $\pi $; as fractions, those approximations would be written $3$, $\frac{31}{10}$ and $\frac{314}{100} $.
Notice how $\frac{314}{100}$ has $100$ as the denominator and yet only produces an approximation correct up to two decimal places.
Claim: by using continued fractions one can obtain better rational approximations for irrational numbers.
Method: if $x $ is an irrational number, instead of truncating its decimal expansion, we can truncate its continued fraction.
Taking $\pi $ as an example, we have $$\pi = 3 + \frac1{7 + \frac1{15 + \cdots}} $$ and by taking $$\pi \approx 3 + \frac17 = \frac{22}{7} $$ we get the approximation $\pi \approx 3.14285\cdots$: it is correct up to two decimal places just as $\frac{314}{100} $, but $7$ is a much smaller denominator than $100$. (And all in all, $\frac{22}{7}$ is a much more elegant fraction that $\frac{314}{100} $)
This can be done for any irrational number and it can be shown that this method produces the best rational approximations for irrational numbers... maybe a post for another time!
What is your favourite continued fraction?
Notice how $\frac{314}{100}$ has $100$ as the denominator and yet only produces an approximation correct up to two decimal places.
Claim: by using continued fractions one can obtain better rational approximations for irrational numbers.
Method: if $x $ is an irrational number, instead of truncating its decimal expansion, we can truncate its continued fraction.
Taking $\pi $ as an example, we have $$\pi = 3 + \frac1{7 + \frac1{15 + \cdots}} $$ and by taking $$\pi \approx 3 + \frac17 = \frac{22}{7} $$ we get the approximation $\pi \approx 3.14285\cdots$: it is correct up to two decimal places just as $\frac{314}{100} $, but $7$ is a much smaller denominator than $100$. (And all in all, $\frac{22}{7}$ is a much more elegant fraction that $\frac{314}{100} $)
This can be done for any irrational number and it can be shown that this method produces the best rational approximations for irrational numbers... maybe a post for another time!
What is your favourite continued fraction?
Truncar a expansão decimal de um número irracional é uma maneira óbvia de criar aproximações racionais para esse número. Por exemplo, $3$, $3.1$ e $3.14$ são aproximações racionais de $\pi$: estas aproximações escrevem-se $3$, $\frac{31}{10}$ e $\frac{314}{100} $ como frações.
Note-se que a fração $\frac{314}{100}$ tem $100$ como denominador e produz uma aproximação que só está certa até duas casas decimais.
Proposição: usando frações contínuas conseguimos obter aproximações racionais muito melhores para os números irracionais.
Método: se $x $ é um número irracional, em vez de truncarmos a sua expansão decimal podemos truncar a sua fração contínua.
Por exemplo, a fração contínua do $\pi $ é $$\pi = 3 + \frac1{7 + \frac1{15 + \cdots}} $$ e se a truncarmos depois do $7$, $$\pi \approx 3 + \frac17 = \frac{22}{7} $$ obtemos a aproximação $\pi \approx 3.14285\cdots$: está correta até à segunda casa decimal, tal como $\frac{314}{100} $, mas $7$ é um denominador muito mais pequeno que $100$. (Para além de que $\frac{22}{7} $ é uma aproximação muito mais elegante que $\frac{314}{100} $...)
Isto pode ser feito com qualquer número irracional e também se pode mostrar que este método produz as melhores aproximações racionais para números irracionais... talvez num post futuro!
Qual é a tua fração contínua preferida?
Note-se que a fração $\frac{314}{100}$ tem $100$ como denominador e produz uma aproximação que só está certa até duas casas decimais.
Proposição: usando frações contínuas conseguimos obter aproximações racionais muito melhores para os números irracionais.
Método: se $x $ é um número irracional, em vez de truncarmos a sua expansão decimal podemos truncar a sua fração contínua.
Por exemplo, a fração contínua do $\pi $ é $$\pi = 3 + \frac1{7 + \frac1{15 + \cdots}} $$ e se a truncarmos depois do $7$, $$\pi \approx 3 + \frac17 = \frac{22}{7} $$ obtemos a aproximação $\pi \approx 3.14285\cdots$: está correta até à segunda casa decimal, tal como $\frac{314}{100} $, mas $7$ é um denominador muito mais pequeno que $100$. (Para além de que $\frac{22}{7} $ é uma aproximação muito mais elegante que $\frac{314}{100} $...)
Isto pode ser feito com qualquer número irracional e também se pode mostrar que este método produz as melhores aproximações racionais para números irracionais... talvez num post futuro!
Qual é a tua fração contínua preferida?
- RGS
