Pocket maths: mathy broccoli


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This post is about showing you how mathematics is beautiful and how it occurs naturally in the world that is around us. In two previous posts (here and here) I talked about fractals. Today I am going to do the same thing, except now I will use broccoli as the example, instead of some weird set on the complex numbers!

Here's two pictures of broccoli:
which one is bigger? There's only two possible answers:
  1. Exhibit A is bigger
  2. Exhibit B is smaller
right? WRONG! Don't be fooled like Joey! Options 1 and 2 are the same...
Going back to the matter at hand, which one is bigger? The right answer is exhibit A, but I don't really expect you to get that. The actual question is, how much bigger is A, when compared to B?

In fact, B was "removed" from inside A! But they both look like perfectly fine broccoli, right? This is one of the properties of fractals: self-similarity. Fractals usually exhibit this very interesting behaviour: you keep zooming in, and the things you see while you zoom in still look like the original one! (for example in this video, we are zooming in on the Mandelbrot set; by second 13, we get the same shape with which we started!).

I'll show you the two pictures again, but this time without the background removed: you can use it to get a relative scale of the two images.

This self-similarity can also be seen from a recursive point of view, by which I would define broccoli this way:
broccoli: a green vegetable composed of a stalk and smaller broccoli.
If you take a moment to think about it, this is exactly what is going on! Broccoli is the vegetable that has smaller versions of itself on top of a stalk.
Of course I went even further, and from within B I removed this:


At this point everything is so small, Mother Nature never bothered to finish up the details, and so there isn't much zoom that I could keep on doing.
Now let us zoom out. I started out with this:

then I extracted exhibit A, then from it I got exhibit B, and from it I got Broccoli Jr. Jr. Jr.. As a final image, I outlined for you the self-similar pattern of broccoli. Next time you eat broccoli, take the time to appreciate the fractals you are eating!

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Este post tem como único objetivo mostrar como a matemática é de facto elegante e como ocorre naturalmente em tudo o que nos rodeia. Em dois posts passados (este e este) escrevi sobre fractais. Hoje vou fazer o mesmo, mas desta vez vou usar bróculos em vez de conjuntos de números complexos! Vou falar de fractais vegetais.

Aqui têm duas fotografias de bróculos:
qual deles é maior? Só há duas respostas possíveis:
  1. O bróculo A é maior
  2. O bróculo B é mais pequeno
certo? ERRADO! Não se deixem enganar como o Joey! As respostas 1 e 2 são a mesma.
De volta ao problema, qual dos bróculos é maior? Na verdade é o bróculo A, mas a pergunta realmente importante é: quão grande é que o bróculo A é em relação ao bróculo B?

Na verdade, eu tirei o bróculo B de dentro de A! Mas tanto um como o outro parecem bróculos "normais", não é? Esta é uma das propriedades dos fractais: auto-semelhança. Os fractais costumam ter este comportamento interessante: aproximamo-nos cada vez mais, e à medida que o fazemos, vamos vendo coisas que se parecem exatamente com aquilo com que começámos! (por exemplo neste vídeo, estamos a fazer zoom no conjunto de Mandelbrot; no segundo 13 do vídeo vemos o mesmo objecto com que começámos!).

Vou mostrar as duas fotografias de novo, mas desta vez não vou retirar o fundo: assim podem usá-lo para aferir uma escala relativa entre os dois bróculos.

Esta auto-semelhança também pode ser entendida de um ponto de vista recursivo, segundo o qual eu definiria o substantivo bróculo da seguinte forma:
bróculo: um vegetal verde que tem um caule com bróculos no topo.
Se pararmos um pouco para pensar, isto é de facto uma boa definição de um bróculo! É o vegetal que tem um caule, e depois tem versões mais pequenas de si próprio no topo!
Claro que eu não parei por aqui, e de dentro do bróculo B eu retirei este:


A esta escala os meus bróculos já são tão pequenos que a Mãe Natureza nunca se deu ao trabalho de aprimorar os pormenores, portanto já não consigo fazer mais zoom.
Agora vamos dar um passo para trás. Comecei com este bróculo:

de onde retirei o bróculo A, de onde retirei o bróculo B, de onde retirei o Bróculo Jr. Jr. Jr.. Nesta última imagem, tomei a liberdade de explicitar o padrão auto-semelhante dos bróculos. Da próxima vez que os comerem, tomem consciência dos fractais que estão a ingerir!

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  - RGS

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