Pocket maths: how to compute averages in your head

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Being able to do basic arithmetic calculations in your head is a great skill. Not because it is sexy but because it is useful in your daily life: it can help you check the change you are given when shopping, it can help you know if you will have enough money to pay for your groceries, it can help you estimate how much things cost after the discounts, etc...

This often reduces to being able to sum and subtract decently; sometimes you need to make a couple of small multiplications, but that is it.

More likely than not, you don't need to compute averages every day. But sometimes you just want the scoring average of your team for the past few games, or the average price per person of a given meal, or the average time you spent stuck in traffic this past week... And averages may appear nastier than simply adding or subtracting, because averages also require you to perform a division: in fact, you have to add all the numbers you want and then divide the total by how many numbers there were.

As an example, say I went to have a meal with three friends and we paid $7$, $8$, $10$ and $12$ euros for our meals. What was the average price? In school we learned to do $7+8+10+12 = 37$ and then $37/4 = 9.25$. Sure, this wasn't to bad if you are not afraid to do maths, but:

1. If you are good with mental maths, you can get to this result even faster;
2. If you hate doing weird mental calculations, you can get to a nice estimation with little effort.

For the "method" you just need three small steps. First, you guess what the average will be. It is good if you guess close, but it is often more useful if your guess is a round number. So $9$ or $10$ would be useful guesses but $9.2$ maybe not so much. Say I was guessing $10$. Then I just have to find the "score" of my guess, which is done by adding or subtracting the "points" each number gives. The "points" a number gives are just the difference between the number and my guess. So $7$ and $8$ are worth $-3$ and $-2$ points, because they fall short of my guess by $3$ and $2$ units respectively. $10$ is worth $0$ points and $12$ is worth $2$ points, so my final score would be $-3$. In the end, you just divide the score by how many numbers you dealt with, and add that to the guess: so $-3/4 = -0.75$ and $10 + (-0.75) = 9.25$.

Does this look bad? Maybe it does, but this is actually quite decent. If you didn't want to do $-3/4$ in your head you could even notice that $3/4$ is greater than $1/2$ and so the average price for the meal was between $9$ and $9.5$...
As you use this "trick" a couple of times, you will get good at getting decent first guesses, which means you will get a very small final score, which means you will be able to get a very good estimation even if you can't make the final division in your head! What is more, the final division is usually easier than the division of the standard way to compute the average because the number you are dividing is much smaller.

As a little test, try computing the average of these grades: $13$, $15$, $15$, $13$, $14$, $16$, $13$, $15$. I just wrote them down so I will be doing this as I write; I am guessing $14$, which means the scores are $-1$,$1$,$1$,$-1$,$0$,$2$,$-1$,$1$ adding up to a grand total of $2$, that I shall divide by $8$. So $2/8 = 1/4 = 0.25$ and the actual average is $14.25$. Don't believe me? Use a calculator. Do you think I got lucky? Maybe. But so will you. What if there were $7$ numbers instead of $8$? Then $2/7$ would be a bit more than $0.25$ and below $0.33$ (because of $2/6=1/3$) and so the average would be around $14.3$. These estimations are often enough for you and many people will be impressed by how accurate you can be in such a short time... not because the calculations were extremely difficult but because people aren't expecting you to even try.

For the sake of completeness, and you don't have to read this if you don't want to, I will just include the "proof" that the method I described works. Let us call $s$ to my guess, $\bar{x}$ to the average and $x_1, x_2, \cdots, x_n$ to the numbers you want to average out. The number $x_i$ contributes with $x_i - s$ points to the score, so the total score $T$ of my guess is $$T = (x_1 - s) + (x_2 - s) + \cdots + (x_n - s) = x_1 + x_2 + \cdots + x_n - n\times s$$ which I then divide by $n$ and add to the guess $s$.
In one equation, my method gives $$ \begin{align}s + \frac{T}{n} &= s + \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n - n\times s}{n} \\ &= s + \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} - s\\ &= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \bar{x}\end{align}$$ which means my method isn't dark magic!

Please use the comment section below to share any mental maths tricks you know and/or use!

Saber fazer contas de cabeça é uma habilidade bestial. Não por ser sexy mas sim porque é extremamente útil nas nossas vidas quotidianas: ajuda-nos a verificar o troco quando compramos algo, ajuda-nos a antever se temos dinheiro suficiente na carteira para pagar as compras ou se temos de usar o cartão, ajuda-nos a estimar o preço dos artigos depois de aplicados os descontos, etc...

Geralmente isto reduz-se a saber somar e subtrair bem de cabeça; às vezes também precisamos de fazer algumas multiplicações pequenas, mas não costuma passar daí.

Claro que o caso muda de figura quando estamos a falar de calcular médias de cabeça. Acho pouco provável que quem estiver a ler isto tenha a necessidade de calcular médias de cabeça com muita frequência, mas de vez em quando gostávamos de conseguir ter uma ideia da média de pontos que a nossa equipa preferida tem marcado, ou saber qual foi o preço médio por pessoa de certa refeição, ou então estimar o tempo médio que gastámos no trânsito esta semana. E fazer médias de cabeça adivinha-se ser mais chato que só fazer somas ou subtações, porque para calcular médias também é preciso fazer uma divisão: na verdade, fazer a média de alguns números é somá-los a todos e depois dividir por quantos eram.

Por exemplo, suponhamos que eu fui jantar com três amigos e pagámos $7$, $8$, $10$ e $12$ euros pelas nossas refeições. Qual foi o preço médio? Para calcular a média pelo método clássico somamos tudo, $7+8+10+12 = 37$ e depois dividimos por $4$, que dá $37/4 = 9.25$. Claro que esta conta não seria particularmente desagradável de se fazer de cabeça, mas:

1. Aqueles que já são bons a fazer contas de cabeça podem chegar ao resultado final ainda mais depressa;
2. Quem não gosta de fazer contas "chatas" de cabeça pode chegar a uma boa estimativa final sem muito trabalho mental.

O meu "método" é composto por três passos. Primeiro, adivinhamos quanto é que a média final vai ser. Dá jeito que o nosso palpite esteja perto da média certa mas também costuma ser mais útil que o nosso palpite seja um número redondo. Ou seja, os palpites $9$ ou $10$ são palpites úteis ao passo que $9.2$, apesar de estar mais perto da resposta certa, vai dar mais trabalho. Depois de termos o nosso palpite, vamos calcular qual é a "pontuação" do nosso palpite. Para a "pontuação" do nosso palpite temos de ver com quantos "pontos" é que cada número contribui e depois somamos tudo. Um número que seja mais pequeno que o nosso palpite contribui com "pontos" negativos e um número acima do nosso palpite contribui com "pontos" positivos; a quantidade de pontos é simplesmente a distância do número ao palpite. No nosso exemplo, e assumindo que o meu palpite inicial era $10$, temos que os números $7$ e $8$ dão "pontos" negativos, respetivamente $-3$ e $-2$. O número $10$ contribui com $0$ e o número $12$ contribui com $2$. Somando essas contribuições todas dá $-3$. O último passo é dividir a contribuição total pelo número de contribuintes e somar isso ao palpite: $-3$ (a contribuição total) a dividir por $4$ (o número de contribuintes) dá $-3/4 = -0.75$ que somado ao palpite dá $10 + (-0.75) = 9.25$, a média final.

É bastante provável que o método que descrevi pareça demasiado complicado... Mas há muitas coisas muito simples que são muito complicadas de explicar! O melhor que têm a fazer é testar o método e decidirem se é útil ou não. Para as pessoas que não queriam/conseguiam fazer a divisão $-3/4$ de cabeça, bastava notar que $3/4$ é maior que $1/2$ e portanto a média final era inferior a $9.5$ mas superior a $9$.
À medida que forem usando este truque vão começar a usar palpites iniciais melhores, o que significa que a "pontuação" final do palpite vai ser menor, o que significa que a divisão final vai ser mais simples (e vai dar um número mais pequeno) e portanto as estimativas vão ficar cada vez melhores. De qualquer das maneiras, a divisão que tem de ser feita neste método costuma ser mais simples que a divisão final se fizerem as contas usuais.

Como pequeno teste, tentem calcular a média dos seguintes números: $13$, $15$, $15$, $13$, $14$, $16$, $13$, $15$. Acabei de inventar os números, portanto este exemplo não foi fabricado para ser simpático. Eu vou adivinhar que a média é $14$, o que significa que as contribuições são $-1$,$1$,$1$,$-1$,$0$,$2$,$-1$,$1$, que somadas dão $2$. Como há $8$ contribuintes, calculo $2/8 = 1/4 = 0.25$, que somado ao palpite $14$ dá uma média final de $14.25$. Quem não acreditar pode usar a calculadora para confirmar. Será que eu tive sorte por causa da divisão que tive de fazer no fim..? Talvez, mas vocês também terão sorte nas contas que vos aparecerem à frente. O que teria acontecido se fossem $7$ números em vez de $8$? $2/7$ já não é tão fácil de calcular quanto $2/8$, mas neste caso podíamos notar que $2/7$ é maior que $0.25$ mas menor que $0.33$ (por causa de $2/6=1/3$) e portanto a média final estaria perto de $14.3$. Este tipo de estimativas costuma ser mais do que suficiente para qualquer propósito prático e muitas pessoas ficarão impressionadas pela exatidão da vossa estimativa versus o tempo que demoraram a calculá-a: não porque as contas fossem extremamente complicadas mas porque as pessoas não estão à espera que vocês se dêem ao trabalho.

Para terminar, vou provar que o meu método não é magia negra. Obviamente o método tem um fundamento matemático, que explano aqui: suponha-se que quero calcular a média dos números $x_1, x_2, \cdots, x_n$, vou chamar $s$ ao meu palpite e vou chamar $\bar{x}$ à média real dos vários $x_i$, que se calcula com a fórmula $$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \bar{x}$$ Ora cada número $x_i$ contribui com $x_i - s$ "pontos" para a pontuação total $P$ do meu palpite, logo a pontuação total do meu palpite é $$P = (x_1 - s) + (x_2 - s) + \cdots + (x_n - s) = x_1 + x_2 + \cdots + x_n - n\times s$$ que depois de calculada (a pontuação total) deve ser dividida por $n$ e somada ao palpite inicial $s$. Assim, numa única fórmula o meu método é $$\begin{align}s + \frac{P}{n} &= s + \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n - n \times s }{n} \\ &= s + \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} - s \\ &= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \bar{x}\end{align}$$
Partilhem comigo os vossos métodos de cálculo mental na secção de comentários em baixo.

  - RGS