Pocket maths: folding halves into thirds
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I have folded a piece of paper in half hundreds of times in my life. And probably so did you. Folding a piece of paper in half is fairly easy: just bend the piece of paper until the corners meet, and then crease. That is it. And with this method one can also fold a piece of paper in $4$, in $8$, etc. We just have to successively divide the sections of the paper in half.
But what if we wanted to fold a piece of paper into thirds, as in the picture above? Some people are good at doing that, but they don't really measure anything: they just do it approximately by looking at the paper and folding where it seems about right. I guess it goes without saying, but mathematicians don't like things to be "about right", they want them right... and even though I wasn't a mathematician, when I was a child I thought that maybe there was a way for me to successively fold different parts of the paper in half, until one of the creases would be the crease at a third of the paper.
I thought of doing that because dividing a piece of paper in half is easy, as everyone knows. So I decided to find a sequence of folds that would allow me to do that! Except that one such sequence does not exist.
I will give you a second to try and prove that for yourself...
The proof is actually quite simple. If such a sequence of folds existed, that would mean that $\frac{1}{3}$ could be written as a finite sum of some fractions of the form $\frac{1}{2^n}$ (can you see why?). We will assume that such a sequence exists, in order to arrive at a proof by contradiction.
Like I already said, if such a sequence exists, then there are some natural numbers $0 < n_1 < n_2 < \cdots < n_k$ such that $$\frac13 = \frac{1}{2^{n_1}} + \frac1{2^{n_2}} + \cdots + \frac1{2^{n_k}}$$ Of course that we can reduce all the fractions on the right hand side to the same denominator, getting $$\frac13 = \frac{2^{n_k-n_1}}{2^{n_k}} + \frac{2^{n_k - n_2}}{2^{n_k}} + \cdots + \frac{1}{2^{n_k}} = \frac{2^{n_k - n_1} + 2^{n_k-n_2} + \cdots + 1}{2^{n_k}}$$ from which one is able to get $$2^{n_k} = 3\times(2^{n_k - n_1} + 2^{n_k-n_2} + \cdots + 1)$$ which is absurd, because $2^{n_k}$ is not divisible by $3$.
And so the dreams of a young boy were shattered...
But what if we wanted to fold a piece of paper into thirds, as in the picture above? Some people are good at doing that, but they don't really measure anything: they just do it approximately by looking at the paper and folding where it seems about right. I guess it goes without saying, but mathematicians don't like things to be "about right", they want them right... and even though I wasn't a mathematician, when I was a child I thought that maybe there was a way for me to successively fold different parts of the paper in half, until one of the creases would be the crease at a third of the paper.
I thought of doing that because dividing a piece of paper in half is easy, as everyone knows. So I decided to find a sequence of folds that would allow me to do that! Except that one such sequence does not exist.
I will give you a second to try and prove that for yourself...
The proof is actually quite simple. If such a sequence of folds existed, that would mean that $\frac{1}{3}$ could be written as a finite sum of some fractions of the form $\frac{1}{2^n}$ (can you see why?). We will assume that such a sequence exists, in order to arrive at a proof by contradiction.
Like I already said, if such a sequence exists, then there are some natural numbers $0 < n_1 < n_2 < \cdots < n_k$ such that $$\frac13 = \frac{1}{2^{n_1}} + \frac1{2^{n_2}} + \cdots + \frac1{2^{n_k}}$$ Of course that we can reduce all the fractions on the right hand side to the same denominator, getting $$\frac13 = \frac{2^{n_k-n_1}}{2^{n_k}} + \frac{2^{n_k - n_2}}{2^{n_k}} + \cdots + \frac{1}{2^{n_k}} = \frac{2^{n_k - n_1} + 2^{n_k-n_2} + \cdots + 1}{2^{n_k}}$$ from which one is able to get $$2^{n_k} = 3\times(2^{n_k - n_1} + 2^{n_k-n_2} + \cdots + 1)$$ which is absurd, because $2^{n_k}$ is not divisible by $3$.
And so the dreams of a young boy were shattered...
Toda a gente já dobrou folhas de papel ao meio centenas de vezes. Talvez seja por causa da prática ou talvez seja porque é uma tarefa mesmo simples, mas qualquer pessoa consegue dobrar uma folha ao meio razoavelmente bem. O modo como eu o faço é o que quase toda a gente faz: juntamos os cantos da folha com cuidado e depois vincamos a folha ao meio. Já está. E desta maneira também dá para dobrar a folha em $4$ ou em $8$, é só dobrar ao meio sucessivamente.
Mas e se eu quisesse dobrar a folha em três, tal como na imagem em cima? Há pessoas que o conseguem fazer bastante bem, mas não o fazem de forma precisa, fazem-no a olho. Claro que para efeitos práticos isso costuma chegar, mas para o meu "eu" de 10 anos isso não era satisfatório. Eu queria arranjar uma maneira de conseguir dobrar a folha em três e ter a certeza absoluta que os vincos estavam no sítio certo. Como eu conseguia dobrar a folha ao meio, pensei que se fosse dobrando ao meio as secções certas, conseguiria chegar à dobra do terço da folha.
Eu estava enganado, já que não há nenhuma sequência de "dobras ao meio" que me faça chegar à dobra a um terço da folha.
Pensem um pouco sobre isso...
A prova é bastante simples. Se essa sequência de dobras existisse, então $\frac13$ poderia ser escrito como uma soma de frações da forma $\frac1{2^n}$ (conseguem perceber porquê?). Vamos assumir que a sequência de dobras existe para fazermos uma prova por contradição.
Tal como eu disse em cima, se essa sequência existisse, existiriam números naturais $0 < n_1 < n_2 < \cdots < n_k$ tais que $$\frac13 = \frac{1}{2^{n_1}} + \frac1{2^{n_2}} + \cdots + \frac1{2^{n_k}}$$ Claro que podemos reduzir as frações do lado direito ao mesmo denominador, obtendo assim $$\frac13 = \frac{2^{n_k-n_1}}{2^{n_k}} + \frac{2^{n_k - n_2}}{2^{n_k}} + \cdots + \frac{1}{2^{n_k}} = \frac{2^{n_k - n_1} + 2^{n_k-n_2} + \cdots + 1}{2^{n_k}}$$ de onde se obtém $$2^{n_k} = 3\times(2^{n_k - n_1} + 2^{n_k-n_2} + \cdots + 1)$$ que é absurdo porque $2^{n_k}$ não é divisível por $3$.
E é assim que se destroem os sonhos de uma criança...
Mas e se eu quisesse dobrar a folha em três, tal como na imagem em cima? Há pessoas que o conseguem fazer bastante bem, mas não o fazem de forma precisa, fazem-no a olho. Claro que para efeitos práticos isso costuma chegar, mas para o meu "eu" de 10 anos isso não era satisfatório. Eu queria arranjar uma maneira de conseguir dobrar a folha em três e ter a certeza absoluta que os vincos estavam no sítio certo. Como eu conseguia dobrar a folha ao meio, pensei que se fosse dobrando ao meio as secções certas, conseguiria chegar à dobra do terço da folha.
Eu estava enganado, já que não há nenhuma sequência de "dobras ao meio" que me faça chegar à dobra a um terço da folha.
Pensem um pouco sobre isso...
A prova é bastante simples. Se essa sequência de dobras existisse, então $\frac13$ poderia ser escrito como uma soma de frações da forma $\frac1{2^n}$ (conseguem perceber porquê?). Vamos assumir que a sequência de dobras existe para fazermos uma prova por contradição.
Tal como eu disse em cima, se essa sequência existisse, existiriam números naturais $0 < n_1 < n_2 < \cdots < n_k$ tais que $$\frac13 = \frac{1}{2^{n_1}} + \frac1{2^{n_2}} + \cdots + \frac1{2^{n_k}}$$ Claro que podemos reduzir as frações do lado direito ao mesmo denominador, obtendo assim $$\frac13 = \frac{2^{n_k-n_1}}{2^{n_k}} + \frac{2^{n_k - n_2}}{2^{n_k}} + \cdots + \frac{1}{2^{n_k}} = \frac{2^{n_k - n_1} + 2^{n_k-n_2} + \cdots + 1}{2^{n_k}}$$ de onde se obtém $$2^{n_k} = 3\times(2^{n_k - n_1} + 2^{n_k-n_2} + \cdots + 1)$$ que é absurdo porque $2^{n_k}$ não é divisível por $3$.
E é assim que se destroem os sonhos de uma criança...
- RGS
